Question

函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3b²x，（a，b∈R）
（Ⅰ）若a=1，b=0，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在區(qū)域D={（x，y）|（x-1）²+y²≤1，x，y∈R}中隨機抽取一點，該點的橫、縱坐標分別記為a、b，求函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率；
（Ⅲ）若0＜a＜b，不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）對任意的x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a=1，b=0代入函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3b²x中，對其進行求導(dǎo)，求出x=1處的導(dǎo)數(shù)，得出直線的斜率，寫出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）基本事件是以A（1，0）為圓心，半徑為1的圓及圓的內(nèi)部，它構(gòu)成的測度為S=π，所求事件為以A（1，0）為圓心，半徑為1的圓及圓的內(nèi)部，且滿足f（x）在R上是增函數(shù)，求出其面積，即可求函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率；
（Ⅲ）對f（x）進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得f（x）是單調(diào)遞減的，根據(jù)不等式，不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）?

(1+lnx)x

x-1

＞k，對x∈（1，+∞）恒成立，利用常數(shù)分離法進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1，b=0時，f（x）=x³-3x² 所以f（1）=-2 即切點為P（1，-2）
因為f′（x）=3x²-6x所以 f′（1）=3-6=-3，
所以切線方程為y+2=-3（x-1）即y=-3x+1，
（Ⅱ）基本事件是以A（1，0）為圓心，半徑為1的圓及圓的內(nèi)部，它構(gòu)成的測度為S=π．

所求事件為以A（1，0）為圓心，半徑為1的圓及圓的內(nèi)部，且滿足f（x）在R上是增函數(shù)，即f′（x）=3x²-6ax+3b²≥0，∴△≤0，∴|a|≤|b|，是弓形OC與弓形OD及弓形的內(nèi)部，其測度為2（

π

4

-

1

2

）=

π

2

-1，
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為

1

2

-

1

π

；
（Ⅲ）f′（x）=3x²-6ax+3b²，
由于0＜a＜b，所以△=36a²-36b²=36（a+b）（a-b）＜0，
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
所以不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）?

(1+lnx)x

x-1

＞k，對x∈（1，+∞）恒成立，
構(gòu)造h（x）=

(1+lnx)x

x-1

，h′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

構(gòu)造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=

x-1

x

，
對x∈（1，+∞），g′（x）=

x-1

x

＞0
 所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）遞增，
g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
所以?x₀∈（3，4），g（x₂）=x₀-lnx₀-2=0，
所以x∈（1，x₀），g（x）＜0，h（x）＜0，
所以，所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（1，x₂）遞減x∈（x₀，+∞），g（x）＞0，h（x）＞0，
所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（x₀，+∞）遞增，所以，h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

結(jié)合g（x₀）=x₀-lnx₀-2=0得到，h（x）_min=h（x₀）=x₀∈（3，4）
所以k＜

(1+lnx)x

x-1

對x∈（1，+∞）恒成立?k＜h（x）_min，
所以k≤3，整數(shù)k的最大值為3．

點評：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率知識及其應(yīng)用，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．