Question

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在曲線C1：

x2

9

+

y2

4

=1上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到曲線C2：

x=-8+t y= t 2

（t為參數(shù)）的距離d最小，求出最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：把曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程為 x-2y+8=0，表示一條直線，在曲線C₁找一點(diǎn)P（3cosθ，2sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)P到曲線C2：

x=-8+t y= t 2

的距離d=

|5sin(∅+θ)+8|

5

，其中，sin∅=

3

5

，cos∅=

-4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)∅+θ=2kπ-

π

2

時(shí)，d取得最小值為

3 5

5

，此時(shí)，θ=2kπ-

π

2

-∅，求得 cosθ 和 sinθ的值，即得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：曲線C2：

x=-8+t y= t 2

（t為參數(shù)）的普通方程為 x-2y+8=0，在曲線C1：

x2

9

+

y2

4

=1上找一點(diǎn)P（3cosθ，2sinθ），
點(diǎn)P到曲線C2：

x=-8+t y= t 2

（t為參數(shù)）的距離d=

|3cosθ-4sinθ+8|

1+4

=

|5sin(∅+θ)+8|

5

≥

|-5+8|

5

=

3 5

5

，
sin∅=

3

5

，cos∅=

-4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)∅+θ=2kπ-

π

2

 時(shí)，等號(hào)成立，故d最小值為

3 5

5

．
此時(shí)，θ=2kπ-

π

2

-∅，∴cosθ=cos （2kπ-

π

2

-∅）=-sin∅=-

3

5

，sinθ=sin（2kπ-

π

2

-∅）=-sin（

π

2

+∅）=-cos∅=

4

5

．
故點(diǎn)P（-

9

5

，

8

5

）．
綜上，d最小值為

3 5

5

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

9

5

，

8

5

）．

點(diǎn)評(píng)：題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．