Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-bx+c\\;x≥0}\\{{e}^{x}\\;x＜0}\end{array}\right.$，其中b=$\frac{2}{π}$${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，c為目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x+y-1≤0}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$，內(nèi)的最大值，則f（x）＜10的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． [0，5）
• C． （-∞，5）
• D． （-∞，5]

Answer 1

分析 根據(jù)積分的幾何意義求出b，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出c，利用分類討論的思想解不等式即可．

解答 解：y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的軌跡是半徑為2的上半圓，對(duì)應(yīng)的面積S=$\frac{1}{2}π×{2}^{2}$=2π，
則b=$\frac{2}{π}$${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2}{π}$×2π=4，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+4y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
此時(shí)z=-$\frac{1}{2}$×2+$\frac{3}{2}$×4=-1+6=5，
即c=5，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+5，}&{x≥0}\\{{e}^{x}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
若x≥0，由f（x）＜10得f（x）=x²-4x+5＜10，
即x²-4x-5＜0，解得-1＜x＜5，此時(shí)0≤x＜5，
若x＜0，f（x）=e^x＜1，此時(shí)f（x）＜10恒成立，
綜上x(chóng)＜5，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解涉及的內(nèi)容包括積分的幾何意義以及線性規(guī)劃的知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．