Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+m（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π，最大值為2．
（Ⅰ）求ω和m值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+m，由周期公式和最大值為2易得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[0，

π

2

]和三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的最值，即得范圍．

解答： 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f(x)=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

+m
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+m．
由T=

2π

2ω

=π可得得ω=1，
由最大值為2可得1+

1

2

+m=2，解得m=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f(x)min=sin

7π

6

+1=

1

2

；
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f(x)max=sin

π

2

+1=2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍是[

1

2

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．