Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）滿(mǎn)足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P0(

1

3

，

2

3

)(n∈N)．
（1）求點(diǎn)P₁坐標(biāo)，并寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P₀，P₁的直線(xiàn)L的方程；
（2）猜測(cè)點(diǎn)P_n（n≥2）與直線(xiàn)L的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式（n∈N^*）．

Answer 1

分析：解：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

得a1=

1

4

，b1=

3

4

，得P₁坐標(biāo)為（

1

4

，

3

4

），最后寫(xiě)出直線(xiàn)L的方程即可；
（2）由條件得出點(diǎn)P₂∈L，猜想點(diǎn)P_n（n≥2，n∈N）在直線(xiàn)L上．再利用用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，得出a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)從而得出

1

an+1

=

1

an

+1故有：{

1

an

}是等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

得a1=

1

4

，b1=

3

4

，得P₁坐標(biāo)為（

1

4

，

3

4

）（2分）
顯然直線(xiàn)L的方程為x+y=1（4分）
（2）由a1=

1

4

，b1=

3

4

得a2=

1

5

，b2=

4

5

，∴點(diǎn)P₂∈L，
猜想點(diǎn)P_n（n≥2，n∈N）在直線(xiàn)L上，（6分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)P₂∈L
當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，點(diǎn)P_k∈L，即a_k+b_k=1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=(1+ak)•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=1，
∴點(diǎn)P_k+1∈L∴點(diǎn)P_n∈L（n≥2）（11分）
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=

bn

1- a 2 n

，a_n+b_n=1
得a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)
∴

1

an+1

=

1

an

+1（14分）
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，∴

1

an

=

1

a0

+n=n+3，
∴an=

1

n+3

，bn=

n+2

n+3

（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)的一般式方程、數(shù)列遞推式、數(shù)列和解析幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．