Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

．
（Ⅰ）求證：直線AC∥平面EFB；
（Ⅱ）求二面角F-BE-A的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（I）設(shè)AC，BD交于O，取EB中點G，連結(jié)FG，GO，由已知條件推導出四邊形FAOG是平行四邊形，由此能證明直線AC∥平面EFB．
（II）分別以AD，DC，DE為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-BE-A的大�。�

解答： （I）證明：設(shè)AC，BD交于O，取EB中點G，連結(jié)FG，GO，
在△BDE中，OG

∥ .

.

1

2

DE，F(xiàn)A

∥ .

.

1

2

DE，
∴OG

∥ .

.

FA，即四邊形FAOG是平行四邊形，
∴FG∥AO，又AO?平面EFB，F(xiàn)G?平面EFB，
∴直線AC∥平面EFB．…（5分）
（II）解：分別以AD，DC，DE為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系O-xyz
由題意知：B（2，2，0），
E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），
A（2，0，0），
∴

BF

=(0，-2，1)，

BE

=（-2，-2，2），

AE

=(-2，0，2)，

AB

=(0，2，0)，
設(shè)平面AEB的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AE =0 m • AB =0

，
∴

-2x+2z=0 2y=0

，
取x=1，得

m

=（1，0，1），
設(shè)平面FBE的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • BF =-2y1+z1 n • BE =-2x1-2y1+2z1=0

，
取y₁=1，得

n

=(1，1，2)，
設(shè)二面角F-BE-A的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+2

2 • 6

|=

3

2

，
∴二面角F-BE-A的大小為

π

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．