Question

14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE=AF=4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2$\sqrt{6}$．
（1）求證：A′C⊥EF；
（2）求五棱錐A′-BCDFE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，證明EF⊥平面A′HC，即可證明A′C⊥EF；
（2）由已知條件推導(dǎo)出平面A′HC⊥平面ABCD，過點(diǎn)A′作A′O垂直HC且與HC相交于點(diǎn)O，則A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱錐A′-BCDFE的體積．

解答 （1）證明：連接AC，設(shè)AC∩EF=H，連接A′H，則EF⊥AC，EF⊥A′H，
∵AC∩A′H=H，
∴EF⊥平面A′HC，
∵A′C?平面A′HC，
∴A′C⊥EF；
（2）解：由ABCD是正方形，AE=AF=4，
得H是EF的中點(diǎn)，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
從而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
從而平面A′HC⊥平面ABCD，
過點(diǎn)A′作A′O垂直HC且與HC相交于點(diǎn)O，
則A′O⊥平面ABCD．
∵正方形ABCD的邊長為6，AE=AF=4，
得到：A′H=2$\sqrt{2}$，CH=4$\sqrt{2}$，
∴cos∠A′HC=$\frac{8+32-24}{2×2\sqrt{2}×4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴HO=A′Hcos∠A′HC=$\sqrt{2}$，A′O=$\sqrt{6}$，
∴五棱錐A′-BCDFE的體積V=$\frac{1}{3}×（{6}^{2}-\frac{1}{2}×4×4）×\sqrt{6}$=$\frac{28\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查五棱錐的體積的求法，考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．