Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）

的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

（本小題滿分15分）

       已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.

（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

答案：解（Ⅰ）由已知得，

 由，得，．∵，，

∴ 當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞減．

∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．……………………………2分

又，，∴ ．

，即，得．

故，為所求．                          ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，點(diǎn)在曲線上．

⑴ 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．  ………………………………5分

⑵當(dāng)切點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點(diǎn)在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切線的方程為．…8分

故所求切線的方程為或．       ………………………………9分

（ 或者：由（1）知點(diǎn)A（0，1）為極大值點(diǎn)，所以曲線的點(diǎn)A處的切線為，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，符合題意．）

（Ⅲ）解： ．

∴

．       ………………………………11分

二次函數(shù)的判別式為

，

令，得：

令，得     ………………………………13分

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；…14分

當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．                  ………………………………16分