Question

已知點(diǎn)P是半徑為1的圓外一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則

PA

•

PB

的最小值為

-3+2

2

．

Answer 1

分析：作出如圖所示的示意圖，設(shè)PA=PB=x，∠APO=α，從而化簡(jiǎn)得出cos∠APB=cos2α=

x2-1

1+x2

，由此算出

PA

•

PB

=

x4-x2

1+x2

=（1+x²）+

2

1+x2

-3，再利用基本不等式求最值，可得當(dāng)x=

2 -1

時(shí)，

PA

•

PB

有最小值為-3+2

2

．

解答：解：作出示意圖，如右圖所示．
設(shè)PA=PB=x，∠APO=α，由圓的切線的性質(zhì)，可得∠APB=2α，
∵OA⊥PA，OA=1，∴PO=

OA2+PA2

=

1+x2

，
由三角函數(shù)的定義，得sinα=

AO

PO

=

1

1+x2

．
∴cos∠APB=cos2α=1-2sin²α=1-2•

1

1+x2

=

x2-1

1+x2

，
因此，

PA

•

PB

=

|PA|

•

|PB|

cos2α=x²•

x2-1

1+x2

，
∴

PA

•

PB

=

x4-x2

1+x2

=（1+x²）+

2

1+x2

-3，
∵（1+x²）+

2

1+x2

≥2

(1+x2)• 2 1+x2

=2

2

，
∴

PA

•

PB

≥-3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)1+x²=

2

時(shí)，即x=

2 -1

時(shí)，

PA

•

PB

有最小值為-3+2

2

．
故答案為：-3+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形中三角函數(shù)的定義、二倍角的余弦公式、向量的數(shù)量積公式和利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．