如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=
3
AD，
（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大小．
（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A
∴SD⊥平面ABCD，
又∵SD⊆平面SBD，
∴平面SDB⊥平面ABCD．…（5分）
（2）由題可知DS、DA、DC兩兩互相垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz
設(shè)AD=a，則S（
3
a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）
∵
DS
=（
3
a，0，0），
DB
=（0，a，2a），…（7分）
設(shè)面SBD的一個(gè)法向量為
n
=（x，y，-1）
則
n
•
DS
=0
n
•
DB
=0
，即
3
ax=0
ay-2az=0

解得
n
=（0，2，-1）…（8分）
又∵
AB
=（0，0，2a），
SA
=（-
3
a，a，0），
設(shè)面SAB的一個(gè)法向量為
m
=（1，y，z），
則
m
•
AB
=0
m
•
SA
=0
，即
2az=0
-
3
a+ay=0

解出
m
=（1，
3
，0），…（10分）
cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
15
15

故所求的二面角為arccos
15
15
…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為
3
3
，M是AC的中點(diǎn)，則EM，DE所成角的余弦值等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，四面體A-BCD的四個(gè)面全等，且AB=AC=2
3
，BC=4，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為（　�。�
A．arccos
1
3
B．arccos
3
3
C．
π
2
D．
2π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB，PBC都是邊長為2的正三角形，AC=
3
，則二面角A-PB-C的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=
1
2
AB，P是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上移動(dòng)．
（Ⅰ）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅱ）當(dāng)CE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕，將△ABC折成二面角C-AD-B等于______時(shí)，在折成的圖形中，△ABC為等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

邊長為4的正四面體P-ABC中，E為PA的中點(diǎn)，則平面EBC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案