Question

20．在△ABC中，已知A=30°，b=18，分別根據(jù)下列條件求B．
（1）①a=6；②a=9；③a=13；④a=18；⑤a=22；
（2）根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，討論使B有一解，兩解，無解時(shí)a的取值情況．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理求得sinB的值，再結(jié)合大邊對(duì)大角，判斷角B的個(gè)數(shù)．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，討論使B有一解，兩解，無解時(shí)a的取值情況．

解答 解：（1）ABC中，∵已知A=30°，b=18，
若①a=6，則由正弦定理可得$\frac{6}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{3}{2}$（舍去），故B無解．
若②a=9，則由正弦定理可得$\frac{9}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=1，∴B=90°，角B有唯一解．
若③a=13則由正弦定理可得$\frac{13}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{3}{4}$，再根據(jù)b＞a可得 B=arcsin$\frac{3}{4}$或B=π-arcsin$\frac{3}{4}$，有兩個(gè)解．
若④a=18，再根據(jù)a=b可得A=B=30°，故B有唯一解．
⑤a=22則由正弦定理可得$\frac{22}{sin30°}$=$\frac{18}{sinB}$，求得sinB=$\frac{9}{22}$，再根據(jù)b＜a可得B=arcsin$\frac{9}{22}$，角B有唯一解．
（2）由①可得，若sinB=1，即a=9； 或sinB∈（0，1）且18≤a時(shí)，角B有唯一值；
若sinB∈（0，1）且a＜18時(shí)，角B有兩個(gè)解；
若sinB＞1時(shí)，即a＜9時(shí)，B無解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，大邊對(duì)大角，三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．