15．已知四邊形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|，試用向量方法證明它的兩條對(duì)角線互相垂直．

分析 證明AC平分∠DAB，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=0，即可證明結(jié)論．

解答 證明：由題意，△ADC≌△ABC，∴AC平分∠DAB，
∴$\overrightarrow{AC}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），
∵$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=k（$\overrightarrow{AB}$2-$\overrightarrow{AD}$2）=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{DB}$．
∴四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5．已知橢圓x2+3y2=9的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)D是線段PF1的中點(diǎn)，則△F1OD的周長(zhǎng)為（　�。�
A．1+$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$B．3+$\sqrt{6}$C．3+2$\sqrt{3}$D．6+2$\sqrt{6}$

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6．關(guān)于的不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0對(duì)于x∈R恒成立，求a的取值范圍．

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3．如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，A1D∩AC1=M，BA1⊥AC1．
（Ⅰ）試問(wèn)在線段AB是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面BB1C1C，若存在，指出N點(diǎn)位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求證：四邊形A1C1CA是菱形，并求AC1長(zhǎng)．

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10．已知x、y∈R+，且x+y=4，求$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$的最小值．

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20．在△ABC中，已知A=30°，b=18，分別根據(jù)下列條件求B．
（1）①a=6；②a=9；③a=13；④a=18；⑤a=22；
（2）根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，討論使B有一解，兩解，無(wú)解時(shí)a的取值情況．

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7．向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，設(shè)$\overrightarrow{p}$=3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{q}$=2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，若存在實(shí)數(shù)x，y，使得x$\overrightarrow{p}$-y$\overrightarrow{q}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，則x=$\frac{11}{39}$，y=$\frac{1}{13}$．

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4．已知sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$，且0＜β＜π
（1）求sinβ-cosβ的值．
（2）求sinβ、cosβ、tanβ的值．

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5．已知橢圓E的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線y2=4$\sqrt{5}$x的焦點(diǎn)，離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且在x軸上存在點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$與k的取值無(wú)關(guān)，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案