Question

12．對于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，經(jīng)過變換T：交換A中某相鄰兩段的位置（數(shù)列A中的一項(xiàng)或連續(xù)的幾項(xiàng)稱為一段），得到數(shù)列T（A）．例如，數(shù)列A：a₁，…，a_i，$\underbrace{{a_{i+1}}，…，{a_{i+p}}}_M，\underbrace{{a_{i+p+1}}，…，{a_{i+p+q}}}_N，{a_{i+p+q+1}}，…，{a_n}$（p≥1，q≥1）
經(jīng)交換M，N兩段位置，變換為數(shù)列T（A）：a₁，…，a_i，$\underbrace{{a_{i+p+1}}，…，{a_{i+p+q}}}_N，\underbrace{{a_{i+1}}，…，{a_{i+p}}}_M，{a_{i+p+q+1}}，…，{a_n}$．
設(shè)A₀是有窮數(shù)列，令A(yù)_k+1=T（A_k）（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果數(shù)列A₀為3，2，1，且A₂為1，2，3．寫出數(shù)列A₁；（寫出一個即可）
（Ⅱ）如果數(shù)列A₀為9，8，7，6，5，4，3，2，1，A₁為5，4，9，8，7，6，3，2，1，A₂為5，6，3，4，9，8，7，2，1，A₅為1，2，3，4，5，6，7，8，9．寫出數(shù)列A₃，A₄；（寫出一組即可）
（Ⅲ）如果數(shù)列A₀為等差數(shù)列：2015，2014，…，1，A_n為等差數(shù)列：1，2，…，2015，求n的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)規(guī)律書寫即可得出A₁：2，1，3或A₁：1，3，2．
（II）閱讀題意，利用定義書寫A₃：5，6，7，2，3，4，9，8，1；A₄：5，6，7，8，1，2，3，4，9．
（III）運(yùn)用推理論證的方法得出：
首先，證明對于一個數(shù)列，經(jīng)過變換T，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2．實(shí)際上，考慮對數(shù)列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交換其相鄰兩段a，…，b和c，…，d的位置，所判斷得出經(jīng)過變換T，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2．
其次，第一次和最后一次變換，順序數(shù)均改變1．設(shè)n的最小值為x，2+2（x-2）≥2014，即x≥1008，論證判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）A₁：2，1，3或A₁：1，3，2．
（Ⅱ）A₃：5，6，7，2，3，4，9，8，1；                                     
A₄：5，6，7，8，1，2，3，4，9．
（Ⅲ）考慮數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，滿足a_i＜a_i+1的數(shù)對a_i，a_i+1的個數(shù)，我們稱之為“順序數(shù)”．則等差數(shù)列A₀：2015，2004，…，1的順序數(shù)為0，等差數(shù)列A_n：1，2，…，2015的順序數(shù)為2014．
首先，證明對于一個數(shù)列，經(jīng)過變換T，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2．實(shí)際上，考慮對數(shù)列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交換其相鄰兩段a，…，b和c，…，d的位置，
變換為數(shù)列…，p，c，…，d，a，…，b，q，…．
顯然至多有三個數(shù)對位置變化．假設(shè)三個數(shù)對的元素都改變順序，使得相應(yīng)的順序數(shù)增加，
即由p＞a，b＞c，d＞q變?yōu)閜＜c，d＜a，b＜q．
分別將三個不等式相加得p+b+d＞a+c+q與p+b+d＜a+c+q，矛盾．
所以 經(jīng)過變換T，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2．
其次，第一次和最后一次變換，順序數(shù)均改變1．設(shè)n的最小值為x，則
2+2（x-2）≥2014，即x≥1008．                            
最后，說明可以按下列步驟，使得數(shù)列A₁₀₀₈為1，2，…，2015．
對數(shù)列A₀：2015，2014，…，1，
第1次交換1，2，…，1007和1008，1009位置上的兩段，
得到數(shù)列A₁：1008，1007，2015，2014，…，1010，1009，1006，1005，…，2，1；
第2次交換2，3，…，1008和1009，1010位置上的兩段，
得到數(shù)列A₂：1008，1009，1006，1007，2015，2014，…，1011，1010，1005，1004，…，2，1；
第3次交換3，4，…，1009和1010，1011位置上的兩段，
得到數(shù)列A₃：1008，1009，1010，1005，1006，1007，2015，2014，…，1012，1011，1004，1003，…，2，1；…，以此類推
第1007次交換1007，1008，…，2013和2014，2015位置上的兩段，
得到數(shù)列A₁₀₀₇：1008，1009，…，2013，2014，1，2，…，1006，1007，2015；
最終再交換1，2，…，1007和1008，1009，…，2014位置上的兩段，即得A₁₀₀₈：1，2，…，2015．
所以 n的最小值為1008．

點(diǎn)評 本題題干較長，文字較多，顯得內(nèi)容很復(fù)雜，閱讀分析要仔細(xì)，主要考察了解決復(fù)雜問題的能力，推理論證的能力，屬于難題．