Question

已知t∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x³-

3(t+1)

2

x²+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上無(wú)極值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值，求t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)t=1時(shí)，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在（0，2）上無(wú)極值，即可求t的值；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值，即可求t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)t=1時(shí)，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，即x³-3x²+3x+1≤xe^x-5x²+5x-m+2分離參數(shù)，可得m≤x（e^x-x²-2x+2）+1對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求出右邊的最小值，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

3(t+1)

2

x²+3tx+1，
∴f′（x）=3（x-1）（x-t），
又f（x）在（0，2）上無(wú)極值，∴t=1；                 …（3分）
（Ⅱ）①當(dāng)t≤0時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，2）單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，2]的最小值為f（1）=

1

2

+

3

2

t；
②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（x）在（0，t）單調(diào)遞增，在（t，1）單調(diào)遞減，在（1，2）單調(diào)遞增，
∴f（1）≤f（0）或f（t）≥f（2）
由f（t）≥f（2）得：-t³+3t²≥4在0＜t＜1時(shí)無(wú)解
∴

f(1)≤f(0) 0＜t＜1

，∴0＜t≤

1

3

； 
③當(dāng)t=1時(shí)，不合題意；
④當(dāng)1＜t＜2時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，t）單調(diào)遞減，在（t，2）單調(diào)遞增，
∴

f(1)≥f(2) 1＜t＜2

或

f(t)≤f(0) 1＜t＜2

即

1 2 + 3 2 t≥3 1＜t＜2

或

- 1 2 t3+ 3 2 t2+1≤1 1＜t＜2

∴

5

3

≤t＜2或3≤t（舍去）
⑤當(dāng)t≥2時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，2）單調(diào)遞減，
∴f(x)max=f(1)=

1

2

+

3

2

t，
綜上：t∈（-∞，

1

3

]∪[

5

3

，+∞）時(shí)，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值．…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)t=1時(shí)，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，即x³-3x²+3x+1≤xe^x-5x²+5x-m+2對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，∴m≤xe^x-x³-2x²+2x+1，
即m≤x（e^x-x²-2x+2）+1對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立
令g（x）=e^x-x²-2x+2，x∈[0，+∞）
∵g'（x）=e^x-2x-2，若g'（x）=ex0-2x0-2=0，則0＜x₀＜2，
∴g（x）_min=g（x₀）=ex0

-x

2 0

-2x0+2=2x0+2

-x

2 0

-2x0+2=4-

x

2 0

＞0，
∴xg（x）≥0，∴xg（x）+1≥1，∴m≤1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、有限與無(wú)限思想等．