已知函數(shù)f（x）=
(x-a)2
lnx
（其中a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥k成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求證：x1+x3＞
2
e
．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)不等式求單調(diào)區(qū)間；
（2）x＞1時(shí)，f（x）≥k，即（x-1）2-klnx≥0成立，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，x3，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性去判斷．
解答： 解：（1）f′(x)=
x(2lnx-1)
ln2x
．
令f′（x）0可得x=
e
，
∴函數(shù)在（0，1），（1，
e
）上函數(shù)單調(diào)遞減，在（
e
，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，
∴單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，
e
）；增區(qū)間為（
e
，+∞）；
（2）x＞1時(shí)，f（x）≥k，即（x-1）2-klnx≥0成立，
令g（x）=（x-1）2-klnx，則g′（x）=
2x2-2x-k
x
，
∵x＞1，∴2x2-2x=2x（x-1）＞0
①k≤0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，滿足題意；
②k＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x1=
1-
1+2k
2
＜0，x2=
1+
1+2k
2
＞1，
∴x∈（1，x2），g′（x）＜0，g（x）在（1，x2）上是減函數(shù)，
∴x∈（1，x2），g（x）＜g（1）=0，不合題意，舍去，
綜上可得，k≤0；
（3）由題，f′（x）=
(x-a)(2lnx+
a
x
-1)
ln2x

對(duì)于函數(shù)h（x）=2lnx+
a
x
-1，有h′（x）=
2x-a
x2

∴函數(shù)h（x）在（0，
a
2
）上單調(diào)遞減，在（
a
2
，+∞）上單調(diào)遞增
∵函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)x1＜x2＜x3，
從而hmin（x）=h（
a
2
）=2ln
a
2
+1＜0，所以a＜
2
e
，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間有（x1，a）和（x3，+∞），遞減區(qū)間有（0，x1），（a，1），（1，x3），
此時(shí)，函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)，且x2=a；
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x1，x3是函數(shù)h(x)=2lnx+
a
x
-1的兩個(gè)零點(diǎn)；
即有
2lnx1+
a
x1
-1=0
2lnx3+
a
x3
-1=0
，消去a有2x1lnx1-x1=2x3lnx3-x3
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零點(diǎn)x=
1
e
，且x1＜
1
e
＜x3
∴函數(shù)g（x）=2xlnx-x在（0，
1
e
）上遞減，在（
1
e
，+∞）上遞增
證明x1+x3＞
2
e
?x3＞
2
e
-x1?g（x3）＞g（
2
e
-x1）
∵g（x1）=g（x3），∴即證g（x1）＞g（
2
e
-x1）
構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）＞g（
2
e
-x），則F（
1
e
）=0
只需要證明x∈（0，
1
e
]單調(diào)遞減即可．
而F′（x）=2lnx+2ln（
2
e
-x）+2，F(xiàn)″（x）＞0，
∴F'（x）在(0，
1
e
]上單調(diào)遞增，∴F′(x)＜F(
1
e
)=0
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x1+x3＞
2
e
．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，D是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)，D到AB的距離為2，過C的曲線E上任一點(diǎn)P滿足|
PA
|+|
PB
|為常數(shù)．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出曲線E的方程．
（2）過點(diǎn)D的直線l與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M點(diǎn)在D，N之間，若|
DM
|=λ|
DN
|，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知t∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x3-
3(t+1)
2
x2+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上無極值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最值，求t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)t=1時(shí)，若f（x）≤xex-5x2+5x-m+2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點(diǎn)M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|AB|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x+4，數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）sn為{an}的前n項(xiàng)和，求和：
1
s1
+
1
s2
+
1
s3
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司招聘員工，現(xiàn)有兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都不同意通過，則視作初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家意見不一致時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用，設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為0.5，復(fù)審能通過的概率為0.3，各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；
（2）若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a+log2x，且f（a）=1，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1+b1=3，a2+b2=7，a3+b3=15，a4+b4=35，則an+bn=
 
．（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）n•an=2n-1，則{an}的前40項(xiàng)和為
 
．

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同步練習(xí)冊答案