Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

（其中ω＞o），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π
（I）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位長(zhǎng)度，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=

1

2

（1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+

3

（1+cos2ωx）-

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π
∴

2π

2ω

=π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+

π

3

）
將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=f（x+

π

6

）的圖象；
再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x+

π

6

）的圖象
∴函數(shù)y=g（x）的解析式為y=2sin[2（2x+

π

6

）+

π

3

]，可得g（x）=2sin（4x+

2π

3

）
令-

π

2

+2kπ≤4x+

2π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解之得-

7π

24

+

kπ

2

≤x≤

5π

24

+

kπ

2

，k∈Z
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-

7π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]，k∈Z
同理，令

π

2

+2kπ≤4x+

2π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z ），得g（x）的單調(diào)減區(qū)間是[

5π

24

+

kπ

2

，

17π

24

+

kπ

2

]，k∈Z
綜上所述，可得g（x）的單調(diào)減區(qū)間是[

5π

24

+

kπ

2

，

17π

24

+

kπ

2

]，單調(diào)增區(qū)間是[-

7π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]，k∈Z．