Question

已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為（0，1），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點A、B，且

AP

=3

PB

．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的離心率和標準方程．
（Ⅱ）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m 2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0，由根的判別式和韋達定理知3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，
可設C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得a=1，b=c=

2

2

故橢圓C的離心率為e=

c

a

=

2

2

，
其標準方程為：y2+

x2

1 2

=1
（Ⅱ）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

∴-x₁=3x₂，
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
m2=

1

4

時，上式不成立；
m2≠

1

4

時，k2=

2-2m2

4m2-1

，
因k≠0
∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
容易驗證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）

點評：本題考查橢圓的離心率及其標準方程，求實數(shù)m的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓合理進行等價轉(zhuǎn)化．