10.等腰三角形的腰長為2,底邊中點到腰的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則此三角形外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2.

分析 設(shè)AB=AC,D為底邊中點,DE⊥AC,BF⊥AC,則由DE,可求BF,又AB=2,由勾股定理可求AF,CF,tanC,解得C的值,利用正弦定理即可得解.

解答 解:設(shè)AB=AC,D為底邊中點,DE⊥AC,BF⊥AC,
則由DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,知BF=$\sqrt{3}$.
又AB=2,
∴當頂角為銳角時,sinA=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,A=60°,
當頂角為鈍角時,sin(180°-A)=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,A=120°,
∴C=60°,或30°,
∴當C=60°時,2R=$\frac{AB}{sinC}=\frac{2}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
當C=30°時,2R=$\frac{AB}{sinC}=\frac{2}{sin30°}$=4,R=2,
故答案為:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2.

點評 本題主要考查了正弦定理,勾股定理,三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值等知識的應(yīng)用,屬于中檔題.

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