Question

如圖，有邊長為1的正方形，取其對角線的一半，構(gòu)成新的正方形，再取新正方形的對角線的一半，構(gòu)成正方形…如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列．
（1）求這一系列正方形的面積所構(gòu)成的數(shù)列，并證明它是一個等比數(shù)列；
（2）從原始的正方形開始，到第9次構(gòu)成新正方形時，共有10個正方形，求這10個正方形面積的和．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的應用

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定M₁=1，M₂=(

2

2

)2=

1

2

，…，M_n=(

1

2

)n-1，可得數(shù)列是一個等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式，即可求這10個正方形面積的和．

解答： 解：（1）設原正方形面積為M₁，新的正方形面積依次為M₁，M₂，…，
易知：M₁=1，M₂=(

2

2

)2=

1

2

，…，M_n=(

1

2

)n-1，
∴數(shù)列是一個等比數(shù)列．
（2）M₁+M₂+…+M₁₀=

1•[1-( 1 2 )10]

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)10]．

點評：本題考查等比數(shù)列的判斷與求和，考查學生分析解決問題的能力，確定數(shù)列是等比數(shù)列是關(guān)鍵．