Question

對(duì)于向量

PAi

（i=1，2，…，n）把能夠使得|

PA1

|+

PA2

|+…+|

PAn

取到最小值的點(diǎn)P稱為A，（i=1，2，…，n）的“平衡點(diǎn)”．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得BC=CE，連接AE，分別交BD，CD于F，G兩點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的是（　�。�

• A、點(diǎn)A，C的“平衡點(diǎn)”必為點(diǎn)O
• B、點(diǎn)D，C，E的“平衡點(diǎn)”為線段DE的中點(diǎn)
• C、點(diǎn)A，F(xiàn)，G，E的“平衡點(diǎn)”存在且唯一
• D、點(diǎn)A，B，E，D的“平衡點(diǎn)”必在點(diǎn)F

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)平衡點(diǎn)的定義以及三角形中的兩邊之和大于第三邊即可找出正確選項(xiàng)．

解答： 解：如下圖：
A．根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，當(dāng)點(diǎn)P不在線段AC上時(shí)，|

PA

|+|

PC

|＞|

AC

|；
而當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)||

PA

|+|

PC

|=|

AC

|，所以點(diǎn)A，C的平衡點(diǎn)是線段AC上的任意一點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；
B．D、C、E的“平衡點(diǎn)”為三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C．容易判斷當(dāng)P點(diǎn)不在線段FG上時(shí)，|

PA

|+|

PF

|+|

PG

|+|

PE

|＞|

FG

|+|

AE

|，而當(dāng)點(diǎn)P在線段FG上時(shí)其對(duì)應(yīng)向量長(zhǎng)度的和等于|

FG

|+|

AE

|；
∴點(diǎn)A，F(xiàn)，G，E的“平衡點(diǎn)”在線段FG上；
D．容易判斷，當(dāng)P點(diǎn)不在F點(diǎn)時(shí)|

PA

|+|

PB

|+|

PE

|+|

PD

|＞|

BD

|+|

AE

|，當(dāng)P點(diǎn)為F點(diǎn)時(shí)其對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度的和等于|

BD

|+|

AE

|，F(xiàn)點(diǎn)是A，B，E，D的平衡點(diǎn)；
∴D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：考查對(duì)平衡點(diǎn)定義的理解，以及三角形中的兩邊之和大于第三邊．