給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.
(Ⅱ)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.
①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.
分析:(I)由橢圓的方程與準(zhǔn)圓的方程關(guān)系求得準(zhǔn)圓的方程
(II)(1)由準(zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P(0,2),
設(shè)橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2,與準(zhǔn)圓方程聯(lián)立,由橢圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn),求得k.從而得l1,l2方程
(2)分兩種情況①當(dāng)l1,l2中有一條無斜率和②當(dāng)l1,l2都有斜率處理.
解答:解:(I)因?yàn)?span id="ket4n5j" class="MathJye">c=
2
,a=
3
,所以b=1
所以橢圓的方程為
x2
3
+y2=1
,
準(zhǔn)圓的方程為x2+y2=4.
(II)(1)因?yàn)闇?zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P(0,2),
設(shè)過點(diǎn)P(0,2),且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2,
所以
y=kx+2
x2
3
+y2=1
,消去y,得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因?yàn)闄E圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以△=144k2-4×9(1+3k2)=0,
解得k=±1.
所以l1,l2方程為y=x+2,y=-x+2.

(2)①當(dāng)l1,l2中有一條無斜率時(shí),不妨設(shè)l1無斜率,
因?yàn)閘1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為x=
3
x=-
3
,
當(dāng)l1方程為x=
3
時(shí),此時(shí)l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(
3
,1),(
3
,-1)

此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)(
3
,1)
(或(
3
,-1)
)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1(或y=-1),即l2為y=1(或y=-1),顯然直線l1,l2垂直;
同理可證l1方程為x=-
3
時(shí),直線l1,l2垂直.
②當(dāng)l1,l2都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),其中x02+y02=4,
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t(x-x0)+y0,
y=tx+(y0-tx0)
x2
3
+y2=1
,消去y得到x2+3(tx+(y0-tx0))2-3=0,
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx02-3=0,△=[6t(y0-tx0)]2-4•(1+3t2)[3(y0-tx02-3]=0,
經(jīng)過化簡得到:(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0,
因?yàn)閤02+y02=4,所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
設(shè)l1,l2的斜率分別為t1,t2,因?yàn)閘1,l2與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以t1,t2滿足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
所以t1•t2=-1,即l1,l2垂直.
綜合①②知:因?yàn)閘1,l2經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M,N,且l1,l2垂直,
所以線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑,所以|MN|=4.
點(diǎn)評:本題主要考查直線與曲線的位置關(guān)系,通過情境設(shè)置,拓展了圓錐曲線的應(yīng)用范圍,同時(shí)滲透了其他知識(shí),考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”. 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-
2
,0)、F2(
2
,0)
,橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2
|=2
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
(Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(diǎn)P(0,m)(m<0),使得過點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
.若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(>b>0),將圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1.
(Ⅰ)過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),求l1,l2的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1,l2是否垂直?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓m的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(
2
,0)
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)(m<0)的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
,求m的值;
(Ⅲ)過橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線l1,l2的斜率之積是否為定值,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2
2
,0
),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)(m<0)的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
,求m的值.

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