Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 與x=1時都取得極值，求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（﹣ ）= ﹣ a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得，a=﹣ ，b=﹣2．
f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（﹣ ，1）
【解析】求出f′（x），因為函數(shù)在x=﹣ 與x=1時都取得極值，所以得到f′（﹣ ）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減區(qū)間．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．