Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，π]上的零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=0求得sin（x-

π

6

）=

1

2

，可得x-

π

6

=2kπ+

π

6

，或x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，由此求得x的值，從而得到函數(shù)f（x）在x∈[0，π]上的零點(diǎn)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

=sin（x-

π

6

）-

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得2kπ-

π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）由f（x）=sin（x-

π

6

）-

1

2

=0，求得sin（x-

π

6

）=

1

2

，
∴x-

π

6

=2kπ+

π

6

，或x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，即 x=2kπ+

π

3

 或x=2kπ+π，
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，π]上的零點(diǎn)為

π

3

 和π．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換、正弦函數(shù)的增區(qū)間、函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．