Question

【題目】已知圓具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B是圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)．若直線PA，PB的斜率都存在并分別記為，，則＝﹣1，是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．

（1）試類比圓的上述性質(zhì)，寫出橢圓的一個(gè)類似性質(zhì)，并加以證明；

（2）如圖，若橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)P在橢圓M上且位于第一象限，點(diǎn)A，B分別為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作⊥PA，⊥PB，直線，交于點(diǎn)C，直線與橢圓M的另一交點(diǎn)為Q，且，求的取值范圍（可直接使用（1）中證明的結(jié)論）．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由，由橢圓方程帶入化簡可得解；

（2）設(shè)AP的斜率為k，，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得直線AC、BC和BQ的方程，聯(lián)立直線方程可得和，由，結(jié)合可得解.

（1）性質(zhì)：設(shè)A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)．若直線，的斜率都存在并分別記為，，則是與點(diǎn)的位置無關(guān)的定值．

證明：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，從而．設(shè)點(diǎn)則，

則，

故是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．

（2）設(shè)AP的斜率為k，，因?yàn)镻為橢圓M上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，所以由（1）結(jié)論可知，所以BP的斜率為．

因?yàn)?/span>，所以，則AC的方程為

因?yàn)?/span>，所以，則BC的方程為.

由，得，即

設(shè)，因?yàn)?/span>，

且直線的斜率，所以的斜率為，則的方程為

聯(lián)立方程，得，即

則

因?yàn)?/span>，所以.