設已知A、B為拋物線y2=2px（p＞0）上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，給出下列命題：
（1）y軸上存在一點K，使得
KA
•
KF
=0；
（2）
CF
•
DF
=0；
（3）存在實數(shù)λ使得 
AD
=λ
AO
；
（4）若線段AB中點P在準線上的射影為T，有
FT
•
AB
=0．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)拋物線方程，結合向量知識，即可得出結論．
解答： 解：（1）取AB⊥x軸，則A（
p
2
，p），F(xiàn)（
p
2
，0），
設K（0，a），則由（
p
2
，p-a）•（
p
2
，-a）=0，可得
p2
4
-pa+a2=0，∴a=
p
2
，即（1）正確；
（2）由拋物線定義，知FA=CA，F(xiàn)B=DB，則∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD，則∠CFD=180°-∠AFC-∠BFD=180°-
1
2
（360°-∠FAC-∠FBD）=90°，∴
CF
•
DF
=0，正確；
（3）由（2），知△CXF與△FXD相似，即CX•DX=XF2=p2，
知AH=
CX2
2p
，OX=
p
2
，得
AH
HO
=
OX
XD
，∴A、O、D共線，即（3）正確；
（4）設直線AB的傾斜角為α，知∠CFD為直角，即FT=
CD
2
，而PT=
AC+BD
2
=
AF+BF
2
=
AB
2
，有
FT
PT
=
CD
AB
=|cosα|，即AB⊥FT，∴
FT
•
AB
=0，正確．
故選：D．
點評：本題考查拋物線方程與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|x2+x-12≤0}，C={x|x2-4ax+3a2＜0}，若A∩（∁RB）⊆C，試確定實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD為矩形，∠AEB=
π
2
，BC⊥平面ABE，BF⊥CE，垂足為F．
（1）求證：BF⊥平面AEC，
（2）若AB=2BC=2BE=2，求ED與平面AEC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有5條線段長度分別為1，3，5，7，9，從中任意取出3條，則所取3條線段可構成三角形的概率是（　�。�
A、
3
5
B、
3
10
C、
2
5
D、
7
10

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-（a+3）x+b（a≥0，b＞0），函數(shù)g（x）=lg（12-x2+4x）的定義域為B．
（1）若b=2a+1，解關于a的不等式f（-1）＞8；
（2）若b=3時，關于x的不等式f（x）＜0的解集為A，且A?B，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的一個零點在（1，2）內(nèi)，一個零點在（2，3）內(nèi)，求a-b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x，在x=a和x=b處有兩個極值點，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若
b
a
≥e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（
1
2
m2-m）x2+m+1．
（1）若函數(shù)y=lgf（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設命題p：?x∈[
1
2
，2]，f（x）≥3．若命題p為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2mx+7（x≤1）和g（x）=x2-（m+8）x+9（1＜x≤3）是﹙-∞，3]上的減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

寫出下列函數(shù)的反函數(shù)：
（1）y=
x
-1；
（2）y=
x+1
x-2
；
（2）y=
x
2x-1
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案