Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x²-（m+2）x，在x=a和x=b處有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若

b

a

≥e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合定義域，知其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，得到不等式組，求出m的范圍；
（Ⅱ）由題知a，b是兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，得到f（b）-f（a）關(guān)于a，b的關(guān)系式，再用換元t=

b

a

，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，求出g（t）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） f′(x)=

x2-(m+2)x+1

x

，
則由題意得方程x²-（m+2）x+1=0有兩個(gè)正根，
故

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

，
解得m＞0．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞0．
（Ⅱ）f(b)-f(a)=ln

b

a

+

1

2

(b2-a2)-(m+2)(b-a)，
又m+2=a+b，ab=1∴f(b)-f(a)=ln

b

a

-

1

2

(b2-a2)=ln

b

a

-

1

2

(

b2-a2

ab

)=ln

b

a

-

1

2

(

b

a

-

a

b

)，
設(shè)t=

b

a

(t≥e)，故，構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)(t≥e)
g′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
所以g（t）在[e，+∞）上是減函數(shù)，g(t)≤g(e)=1-

e

2

+

1

2e

，
f（b）-f（a）的最大值為1-

e

2

+

1

2e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了，極值，韋達(dá)定理，換元法，以及構(gòu)造思想．屬于中檔題．