Question

證明以下結(jié)論：
（1）若x＞y＞0，則（x²-y²）（x+y）＞（x²+y²）（x-y）；
（2）若a＞0，b＞0，a≠b，則a^ab^b＞(ab)

a+b

2

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)所證的不等式作差后化積，再分析乘積的符號(hào)，從而可證得結(jié)論；
（2）利用分析法，在a＞0，b＞0，a≠b時(shí)，要證a^ab^b＞(ab)

a+b

2

，需證(

a

b

)

a-b

2

＞1；通過(guò)對(duì)a，b的大小關(guān)系的討論，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可使原結(jié)論得證．

解答：證明：（1）∵（x²-y²）（x+y）-（x²+y²）（x-y）=（x-y）[（x+y）²-（x²+y²）]=（x-y）×2xy；
又x＞y＞0，
∴x-y＞0，xy＞0，
∴（x-y）×2xy＞0，
∴（x²-y²）（x+y）＞（x²+y²）（x-y）；
（2）要證a^ab^b＞(ab)

a+b

2

，
需證aa-

a+b

2

•bb-

a+b

2

=a

a-b

2

•b

b-a

2

=(

a

b

)

a-b

2

＞1；
∵a＞0，b＞0，a≠b，
∴當(dāng)a＞b＞0時(shí)，

a

b

＞1，

a-b

2

＞0，由指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞1）的性質(zhì)可知，(

a

b

)

a-b

2

＞1；
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，由指數(shù)函數(shù)y=a^x（0＜a＜1）的性質(zhì)可知，(

a

b

)

a-b

2

＞1；
綜上所述，當(dāng)a＞0，b＞0，a≠b時(shí)，(

a

b

)

a-b

2

＞1成立；
故原結(jié)論成立，即a＞0，b＞0，a≠b，則a^ab^b＞(ab)

a+b

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法與分析法，著重考查轉(zhuǎn)化思想推理分析、證明的能力，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．