Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn)則有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為；通過結(jié)合導(dǎo)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，求得的最小值大于零，由此證得對(duì)，.

（1）對(duì)求導(dǎo)，

得，

令，

因?yàn)楹瘮?shù)有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以函數(shù)有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)，

則，解得.

（2）對(duì)于，求導(dǎo)得，

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以時(shí)，取得最大值，.

由（1）知，

令，

解得或.

①當(dāng)時(shí)，，

則時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以時(shí)，取得極大值，，

因?yàn)?/span>，所以.

時(shí)，取得極小值，，

因?yàn)?/span>，所以.

又當(dāng)時(shí)，，，所以，

當(dāng)時(shí)，，，所以

因?yàn)?/span>，所以.

②當(dāng)時(shí)，恒成立，

綜上知，當(dāng)時(shí)，對(duì)，.