Question

20．如圖，三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁⊥平面 A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁=2，AB⊥AC，D 為 AC 中點(diǎn)，點(diǎn) E 在棱 CC₁C上，且 AE⊥平面 A₁B₁D．
（Ⅰ）求 CE 的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求三棱錐 E-A₁BD 的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明AE⊥A₁D，利用D為AC的中點(diǎn)，即可求CE的長(zhǎng)；
（Ⅱ）根據(jù)錐體的條件公式確定三棱錐的底面積和高即可以求出錐體的體積．

解答 解：（Ⅰ）∵AE⊥平面 A₁B₁D，
∴AE⊥A₁D，
又ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，D為AC的中點(diǎn)，
故E為CC的中點(diǎn)，∴CE=1；  …（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥AC，
 又AB⊥AC，
∴BA⊥平面ACC₁A₁．
∴${V}_{E-{A}_{1}BD}$=${V}_{E-{A}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}×2×{S}_{△{A}_{1}DE}$=$\frac{2}{3}$×（4-$\frac{1}{2}-1-1$）=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)，以及三棱錐的體積的計(jì)算，利用等積法轉(zhuǎn)化是解決本題關(guān)鍵．