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【題目】已知數列,滿足,數列項和為.

(1)若數列是首項為正數,公比為的等比數列.

①求證:數列為等比數列;

②若對任意恒成立,求的值;

(2)已知為遞增數列,即.若對任意,數列中都存在一項使得,求證:數列為等差數列.

【答案】(1) ①證明見解析;②.

(2)證明見解析.

【解析】分析:(1)①由題意得,又得,故可得結論成立.②由題意可得對任意恒成立,結合反證法可得(2)根據可得,再根據數列的單調性可得故得,從而可證得所以數列為等差數列

詳解:(1)①∵數列是公比為的等比數列,

為定值,

∴數列為等比數列.

②由題意得,即 ,

整理得對任意恒成立,

,

.

否則若,,則當時,,與題意矛盾.

(2)因為數列中都存在一項使得,

又數列為遞增數列,

所以,

所以,

因此,

所以數列為等差數列.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,已知為坐標原點,點的坐標為,點的坐標為,其中.設

)若,,求方程在區(qū)間內的解集.

)若函數滿足:圖象關于點對稱,在處取得最小值,試確定應滿足的與之等價的條件.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】提高過江大橋的車輛通行的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)

的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,就會造成堵塞,此時車流速度為0;當

車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當時,

車流速度是車流密度的一次函數.

(1)當時,求函數的表達式;

(2)如果車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數) (單位:輛/小時),那么當車流密度為多大時,車流量可以達到最大,并求出最大值.(精確到輛/小時).

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知動圓過點,且與圓相內切.

I)求動圓的圓心的軌跡方程;

II)設直線(其中與(1)中所求軌跡交于不同兩點,D,與雙曲線交于不同兩點,問是否存在直線,使得向量,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】下列結論不正確的是________(填序號).

各個面都是三角形的幾何體是三棱錐;

以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐;

棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐;

圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某種“籠具”由內,外兩層組成,無下底面,內層和外層分別是一個圓錐和圓柱,其中圓柱與圓錐的底面周長相等,圓柱有上底面,制作時需要將圓錐的頂端剪去,剪去部分和接頭忽略不計,已知圓柱的底面周長為,高為,圓錐的母線長為.

(1)求這種“籠具”的體積;

(2)現(xiàn)要使用一種紗網材料制作50個“籠具”,該材料的造價為每平方米8元,共需多少元?

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】空氣質量按照空氣質量指數大小分為七檔(五級),相對應空氣質量的七個類別,指數越大,說明污染的情況越嚴重,對人體危害越大.

指數

級別

類別

戶外活動建議

優(yōu)

可正常活動

輕微污染

易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應減少體積消耗和戶外活動.

輕度污染

中度污染

心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運動耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應減少體力活動.

中度重污染

重污染

健康人運動耐受力降低,由明顯強烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應當留在室內,避免體力消耗,一般人群應盡量減少戶外活動.

現(xiàn)統(tǒng)計邵陽市市區(qū)2016年1月至11月連續(xù)60天的空氣質量指數,制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這60天中屬輕度污染的天數;

(2)求這60天空氣質量指數的平均值;

(3)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,…,第五組.從第一組和第五組中的所有天數中抽出兩天,記它們的空氣質量指數分別為, ,求事件的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕,把折成互相垂直的兩個平面后,有以下四個結論:

;

三棱錐是正三棱錐;

平面的法向量和平面的法向量互相垂直.

其中正確結論的序號是________________請把正確結論的序號都填上

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知向量,函數的最小值為.

(1)當時,求的值;

(2)求;

(3)已知函數為定義在上的增函數,且對任意的都滿足,問:是否存在這樣的實數,使不等式對所有恒成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

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