Question

已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤

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(x2+y2+z2)對滿足條件的一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得，（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²），結(jié)合條件即可得到最小值；
（Ⅱ）由恒成立思想，結(jié)合（Ⅰ）可得|a+2|≤4，解不等式即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式可得，
（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²），
由|x+2y+3z|≥4，
則x2+y2+z2≥

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，
即x²+y²+z²的最小值為

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；
（Ⅱ）由于|a+2|≤

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2

(x2+y2+z2)對滿足條件的一切實數(shù)x，y，z恒成立，
且x²+y²+z²的最小值為

8

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，
則|a+2|≤4，
則有-4≤a+2≤4
則-6≤a≤2，
即a的取值范圍為[-6，2]．

點評：本題考查柯西不等式的運用：求最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．