Question

如圖，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，點P在陰影區(qū)域（含邊界）中運動，則有

PA

•

BD

的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，

  1

  2

  ]
• C、[-1，1]
• D、[-1，0]

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，由此求得BD，進一步利用向量的三角形法則以及向量的運算得到

PA

•

BD

的最值．

解答： 解：∵在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，
∴BD=

2

．
如圖所示，過點A作AO⊥BD，垂足為O．
則

PA

=

PO

+

OA

，

OA

•

BD

=0．
∴

PA

•

BD

=（

PO

+

OA

）•

BD

=

PO

•

BD

．
所以當點P取點B時，則

PA

•

BD

=

PO

•

BD

=

1

2

×

2

×

2

=1，
當點P取BC邊上的任意一點時，

PA

•

BD

取得最小值=-

1

2

×

2

×

2

=-1．
∴

PA

•

BD

的取值范圍是[-1，1]．
故選C．．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積定義及其性質、投影的定義、向量的三角形法則、直角梯形的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．