Question

8．已知點(diǎn)A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上兩點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，且滿足AF₁∥BF₂，AF₂與BF₁交于點(diǎn)P．記∠AF₁x=α．
（1）求證：|AF₁|=$\frac{^{2}}{a-ccosα}$，|BF₂|=$\frac{^{2}}{a+ccosα}$；
（2）當(dāng)A，B在橢圓上移動時，求證：動點(diǎn)P的軌跡也是一個橢圓；
（3）將（1）（2）的結(jié)論推廣到雙曲線，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)|AF₁|=m，|AF₂|=2a-m，在△AF₁F₂，由余弦定理即可得出|AF₁|，同理可得：|BF₂|；
（2）由AF₁∥BF₂，可得$\frac{BP}{P{F}_{1}}=\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}}$，于是$P{F}_{1}=\frac{A{F}_{1}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}B{F}_{1}$=$\frac{A{F}_{1}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}（2a-B{F}_{2}）$，同理可得：PF₂=$\frac{B{F}_{2}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}（2a-A{F}_{1}）$，可得PF₁+PF₂═$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{a}$＞2c，即可證明．
（3）類比（2）利用平行線的性質(zhì)與雙曲線的定義及其性質(zhì)即可證明．

解答 （1）證明：如圖所示，
設(shè)|AF₁|=m，|AF₂|=2a-m，
在△AF₁F₂，由余弦定理可得：（2a-m）²=m²+4c²-2m•2ccosα，
化為：$m=\frac{^{2}}{a-ccosα}$=|AF₁|，
同理可得：|BF₂|=$\frac{^{2}}{a+ccosα}$；
（2）證明：∵AF₁∥BF₂，∴$\frac{BP}{P{F}_{1}}=\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}}$，
∴$\frac{B{F}_{1}}{P{F}_{1}}=\frac{B{F}_{2}+A{F}_{1}}{A{F}_{1}}$，
∴$P{F}_{1}=\frac{A{F}_{1}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}B{F}_{1}$=$\frac{A{F}_{1}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}（2a-B{F}_{2}）$，
同理可得：PF₂=$\frac{A{F}_{2}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}B{F}_{2}$=$\frac{B{F}_{2}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}（2a-A{F}_{1}）$，
∴PF₁+PF₂=2a-$\frac{2A{F}_{1}•B{F}_{2}}{B{F}_{2}+A{F}_{1}}$=2a-$\frac{\frac{2^{2}}{a-ccosα}•\frac{^{2}}{a+ccosα}}{\frac{^{2}}{a-ccosα}+\frac{^{2}}{a+ccosα}}$=2a-$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{a}$＞2c，
∴動點(diǎn)P的軌跡也是一個橢圓，焦點(diǎn)仍然為F₁，F(xiàn)₂，中心為原點(diǎn)O，長軸長為$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{a}$（＜2a）．
（3）解：對于雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a，b＞0），可得：
（i）|BF₂|=$\frac{^{2}}{a-ccosα}$，|AF₁|=$\frac{^{2}}{a+ccosα}$．
（ii）當(dāng)A，B在雙曲線上移動時，動點(diǎn)P的軌跡也是雙曲線．
類比（2）利用平行線的性質(zhì)與雙曲線的定義及其性質(zhì)即可證明．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，考查了類比推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．