Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n＞1，n∈N，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立，則S₁₀=（　�。�

• A． 90
• B． 91
• C． 99
• D． 100

Answer 1

分析 對(duì)于任意的n＞1，n∈N，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立，化為S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，即a_n+1-a_n=2，因此當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=2，公差為2．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵對(duì)于任意的n＞1，n∈N，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立，
化為S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，∴a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=2，公差為2．
∴S₁₀=a₁+（a₂+a₃+…+a₁₀）
=1+（2+4+…+18）
=1+$\frac{9×（2+18）}{2}$
=91．
故答案為：91．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．