Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng).

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

Answer 1

（1）見解析； （2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系式得，結(jié)合恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，得到結(jié)論. （2）先由得到，兩式相減，利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和. 所以.

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

于是，而，，故， 2分

所以時(shí)，為公差為2的等差數(shù)列，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721112699195027/SYS201411172111425237693974_DA/SYS201411172111425237693974_DA.003.png">恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以

即，解得， 3分

由條件知，則， 4分

于是，

所以為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列； 6分

（2）由（1）知， 8分

，

兩邊同乘以3得，

， 9分

兩式相減得

， 12分

所以. 13分

考點(diǎn)：遞推關(guān)系式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法.