Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1）．
（I）求橢圓的方程；
（II）若過點（0，

3

5

）的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合）．
（i）求證：以MN為直徑的圓恒過A點；
（ii）當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（I）由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1），可得

c a = 3 2 0+ 1 b2 =1 a2=b2+c2

解得即可．
（II）（i）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意可設(shè)過點（0，

3

5

）的直線的方程為y=kx+

3

5

，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，又A（0，-1），只要證明

AM

•

AN

=0即可．
（ii）由（i）可知：△AMN是以點A為直角頂點的直角三角形．設(shè)斜邊MN的中點為P，當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時，則AP⊥MN．且P(

-12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)．分類討論：若k=0，則滿足AP⊥MN，即可得出直線MN的方程為y=

3

5

．若k≠0，由kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

．即可得出．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1），
∴

c a = 3 2 0+ 1 b2 =1 a2=b2+c2

解得b²=1，a=2，c=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（II）（i）由題意可設(shè)過點（0，

3

5

）的直線的方程為y=kx+

3

5

，
聯(lián)立

y=kx+ 3 5 x2 4 +y2=1

，化為(1+4k2)x2+

24k

5

x-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x1x2=-

64

25(1+4k2)

．
又A（0，-1），∴

AM

•

AN

=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=x1x2+(kx1+

8

5

)(kx2+

8

5

)
=(1+k2)x1x2+

8k

5

(x1+x2)+

64

25

=

-64(1+k2)

25(1+4k2)

-

192k2

25(1+4k2)

+

64

25

=

-64-256k2+64+256k2

25(1+4k2)

=0．
∴點A在以線段MN為直徑的圓上，即以MN為直徑的圓恒過A點．
（ii）由（i）可知：△AMN是以點A為直角頂點的直角三角形．設(shè)斜邊MN的中點為P，當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時，則AP⊥MN．
且P(

-12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)．
若k=0，則滿足AP⊥MN，此時直線MN的方程為y=

3

5

，滿足題意．
若k≠0，由kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

．此時直線MN的方程為y=±

5

5

x+

3

5

．
綜上可知：當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時，直線MN的方程為：y=

3

5

，或y=±

5

5

x+

3

5

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點在圓上的證明方法、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．