Question

1．某市熱線網(wǎng)站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設(shè)施的資金投入”進(jìn)行投票，按照該市暴雨前后兩個(gè)時(shí)間各收集了50份有效投票，所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表

	支持	不支持	總計(jì)
暴雨后	x	y	50
暴雨前	20	30	50
總計(jì)	A	B	100

已知工作人員從所有投票中任取一張，取到“不支持投入”的投票概率為$\frac{2}{5}$
（Ⅰ）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B額值；并繪制條形圖，通過圖形判斷本次暴雨是否影響到該市民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度？
（Ⅱ）能夠有多大把握認(rèn)為暴雨與該市民眾是否贊成加大修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān)？
（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，在該市全體市民中任意選取4人，其中“支持加大修建城市地下排水設(shè)施的資金投入”的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（a+c）（c+d）（b+d）}$

P（K2≤k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用工作人員從所有投票中任取一個(gè)，取到“不支持投入”的投票的概率為$\frac{2}{5}$，求出y，即可求得其它值；
（Ⅱ）根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)x²的觀測(cè)值，比較臨界值的大小，可判斷南昌暴雨對(duì)民眾是否贊成加大對(duì)修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān)系．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“從所有投票中任取一個(gè)，取到“不支持投入”的投票”為事件A，
由已知得P（A）=$\frac{y+30}{100}$=$\frac{2}{5}$，
所以y=10，B=40，x=40，A=60，
暴雨后支持率為$\frac{40}{50}$=$\frac{4}{5}$，不支持率為1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，暴雨前支持率為$\frac{20}{50}$=$\frac{2}{5}$，不支持率為1-$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$；
繪制條形圖，

通過圖形判斷本次暴雨影響到該市民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度；
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（30×40-20×10）^{2}}{50×50×40×60}$≈16.67＞6.635，
故至少有99%的把握認(rèn)為南昌暴雨對(duì)民眾是否贊成加大對(duì)修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān)．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，用樣本估計(jì)總體，任取一人支持的概率為P=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，
所以ξ～B（4，$\frac{3}{5}$），P（ξ=k）=${C}_{4}^{k}•（\frac{2}{5}）^{k}•（\frac{3}{5}）^{4-k}$
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

Eξ=np=4×$\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了列聯(lián)表及利用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，熟練掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法、正確求概率是解題的關(guān)鍵．