Question

【題目】f（x）=（ax2+x﹣1）ex
（1）當a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=﹣1，f（x）的圖象與g（x）= x3+ x2+m的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）=axex（x+ ），且a＜0，

∴當a∈（﹣ ，0）時，f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，在（0，﹣ ）上是增函數(shù)，在（﹣ ，+∞）上是減函數(shù)，

當a=﹣ 時，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減；

當a∈（﹣∞，﹣ ）時，f（x）在（﹣∞，﹣ ）上是減函數(shù)，在（﹣ ，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)

（2）解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（ x3+ x2+m），

則h′（x）=（﹣2x+1）ex+（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x2+x）=﹣（ex+1）（x2+x）

令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．

∴h（x）在x=﹣1處取得極小值h（﹣1）=﹣ ﹣ ﹣m，在x=0處取得極大值h（0）=﹣1﹣m，

∵函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個交點，即函數(shù)h（x）有3個不同的零點，

∴ 即 ，

解得：﹣ ﹣ ＜m＜﹣1

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x），然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，和極值，函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個交點，即函數(shù)h（x）有3個不同的零點，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能正確解答此題．