Question

收集本地區(qū)教育儲蓄信息，有一公民的儲蓄方式為：第一年末存入a₁元，以后每年末存入的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0）元，因此，歷年所存入的教育儲蓄金數(shù)目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，政府給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利，也不征利息稅．這就是說，如果固定年利率為p（p＞0），那么，在第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₂（1+p）^n-2，…，以W_n表示到第n年末所累計(jì)的儲蓄金總額．
（1）寫出W_n與W_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（2）是否存在數(shù)列{A_n}，{B_n}使W_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數(shù)列，{B_n}是一個等差數(shù)列，說明你的理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₂（1+p）^n-2，…，可知W₁=a₁，W₂=W₁（1+p）+a₂，W_n=W_n-1（1+p）+a_n（n≥2）…4分
（2）W₁=a₁，W_n=W_n-1（1+p）+a_n，對n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，
得W_n=W_n-1（1+p）+a_n=[W_n-2（1+p）+a_n-1]（1+p）+a_n=W_n-2（1+p）²+（1+p）a_n-1+a_n
…=W₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_nW_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n①…6分
（1+p）W_n=a₁（1+p）ⁿ+a₂（1+p）^n-1+…+a_n-1（1+p）²+a_n（1+p）②
②-①pW_n=a₁（1+p）ⁿ+d（1+p）^n-1+d（1+p）^n-2…+d（1+p）-a_n=…8分
即
如果記，，…10分
則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以為首項(xiàng)，以（1+p）（p＞0）為公比的等比數(shù)列；{B_n}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．…14分
分析：（1）根據(jù)第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變?yōu)閍₂（1+p）^n-2，…，可求W_n與W_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，反復(fù)使用，可得W_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n，兩邊同乘以（1+p），利用錯位相減法求和，結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的定義，可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列模型，再利用數(shù)列的求和方法進(jìn)行求和．判斷一個數(shù)列是否是等差（比）數(shù)列，我們有如下辦法：①定義法②通項(xiàng)公式法（如本題）③前n項(xiàng)和公式法④等差（比）中項(xiàng)法．