Question

（2013•石景山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．若關(guān)于x的方程f（x）=kx+k有三個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A．[-1，-

  1

  2

  )∪(

  1

  4

  ，

  1

  3

  ]
• B．(-1，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• C．[-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  )∪(

  1

  2

  ，1]
• D．(-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  ]∪[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=x-[x]，可畫出滿足條件的圖象，結(jié)合y=kx+k表示恒過A（-1，0）點(diǎn)斜率為k的直線，數(shù)形結(jié)合可得方程f（x）=kx+k有3個相異的實(shí)根．則函數(shù)f（x）=x-[x]與函數(shù)f（x）=kx+k的圖象有且僅有3個交點(diǎn)，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）=x-[x]的圖象如下圖所示：

y=kx+k表示恒過A（-1，0）點(diǎn)斜率為k的直線
若方程f（x）=kx+k有3個相異的實(shí)根．
則函數(shù)f（x）=x-[x]與函數(shù)f（x）=kx+k的圖象有且僅有3個交點(diǎn)
由圖可得：
當(dāng)y=kx+k過（2，1）點(diǎn)時，k=

1

3

，
當(dāng)y=kx+k過（3，1）點(diǎn)時，k=

1

4

，
當(dāng)y=kx+k過（-2，1）點(diǎn)時，k=-1，
當(dāng)y=kx+k過（-3，1）點(diǎn)時，k=-

1

2

，
則實(shí)數(shù)k滿足

1

4

≤k＜

1

3

或-1＜k≤-

1

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)根的存在性及根的個數(shù)的判斷，其中將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，然后利用圖象法結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析函數(shù)圖象交點(diǎn)與k的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．