Question

18．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，數(shù)列{a_n}滿足f（1og₂a_n）=-2n．
（1）求a_n．
（2）判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過f（x）=2^x-2^-x、f（1og₂a_n）=-2n直接代入計算可知a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，兩邊平方、整理可知${{a}_{n}}^{2}$+2na_n-1=0，解關(guān)于a_n的一元二次方程即得結(jié)論；
（2）通過a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n作商、計算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，進而可得結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=2^x-2^-x，f（1og₂a_n）=-2n，
∴${2}^{lo{g}_{2}{a}_{n}}$-${2}^{-lo{g}_{2}{a}_{n}}$=-2n，即a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，
∴${{a}_{n}}^{2}$+2na_n-1=0，
解得：a_n=-n±$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n；
（2）結(jié)論：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．
理由如下：
∵a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}+1}-（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}+1}-n}$
=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{\sqrt{（n+1）^{2}+1}+（n+1）}$
＜1，
又∵a_n＞0，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項及數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．