分析:(Ⅰ)確定函數(shù)f(x)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),并分解 f'(x)=-e
-kx(kx-2)(x+1)(k<0),對f'(x)=0的兩個(gè)根的大小進(jìn)行比較,分類討論:k=-2時(shí),f'(x)=2e
2x(x+1)
2≥0;當(dāng)-2<k<0時(shí),
<-1;當(dāng)k<-2時(shí),
>-1,從而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e
-2.按照(Ⅰ)的分類討論方法,當(dāng)k=-2時(shí),f(x)無極大值;當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x)的極大值為
f()=e-2(+),可得 k=-1;當(dāng)k<-2時(shí),f(x)的極大值不可能等于3e
-2.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)镽.
f′(x)=-ke-kx(x2+x-)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2],
即 f'(x)=-e
-kx(kx-2)(x+1)(k<0).
令f'(x)=0,解得:x=-1或
x=.
當(dāng)k=-2時(shí),f'(x)=2e
2x(x+1)
2≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞).…(3分)
當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x |
(-∞,) |
|
(,-1) |
-1 |
(-1,+∞) |
f'(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是
(-∞,)和(-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是
(,-1).…(5分)
當(dāng)k<-2時(shí),f(x),f'(x)隨x的變化情況如下:
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,) |
|
(,+∞) |
f'(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和
(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是
(-1,).…(7分)
(Ⅱ)當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e
-2.理由如下:
當(dāng)k=-2時(shí),f(x)無極大值.
當(dāng)-2<k<0時(shí),f(x)的極大值為
f()=e-2(+),…(8分)
令
e-2(+)=3e-2,即
+=3,解得 k=-1或
k=(舍).…(9分)
當(dāng)k<-2時(shí),f(x)的極大值為
f(-1)=-.…(10分)
因?yàn)?nbsp;e
k<e
-2,
0<-<,所以
-<e-2.
因?yàn)?nbsp;
e-2<3e-2,所以 f(x)的極大值不可能等于3e
-2.
綜上所述,當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e
-2.…(12分)