Question

（1）一個矩形的面積為8，如果此矩形的對角線長為y，一邊長為x，試把y表示成x的函數．
（2）證明：函數f（x）=x²+1是偶函數，且在[0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）如圖，先求出另一邊，再用勾股定理建立等式，表示出y．
（2）用定義證明即可．由函數的解析知，可通過驗證（-x）=f（x）證明函數是偶函數；用增函數的定義證明函數在[0，+∞）上是增函數．

解答：解：（1）如圖，x

y2-x2

=8
則：y2=x2+

8

x2

y=

x2+ 8 x2

（x＞0）
（2）證明：∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），∴函數f（x）=x²+1是偶函數，
作取x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
∴x₁-x₂0
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
故函數在[0，+∞）上是增函數．
綜上，函數f（x）=x²+1是偶函數，且在[0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數奇偶性的證明與函數單調性的證明，以及根據幾何圖形建立函數關系，求解本題關鍵是掌握函數奇偶性與單調性的證明方法．