Question

2．已知D、E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$．設(shè)CD與BE相交于點(diǎn)F，$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{FE}$，則實(shí)數(shù)λ=6．

Answer 1

分析 根據(jù)條件存在實(shí)數(shù)k：$\overrightarrow{BF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$，同理存在實(shí)數(shù)μ：$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BE}=\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}-μ\overrightarrow{AB}$，從而由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2μ}{3}}\\{\frac{2}{3}+\frac{k}{3}=μ}\end{array}\right.$，這樣便可解出$μ=\frac{6}{7}$，從而便得出λ=6．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$；
D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，∴$\overrightarrow{DF}=k\overrightarrow{DC}=k（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}）$=$k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）=k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$=$k\overrightarrow{AC}-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BF}=k\overrightarrow{AC}-（\frac{2}{3}+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AB}$；
同理，B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BE}=μ（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$=$μ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）=\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AC}-μ\overrightarrow{AB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2μ}{3}}\\{\frac{2}{3}+\frac{k}{3}=μ}\end{array}\right.$；
解得$μ=\frac{6}{7}$；
∴$\overrightarrow{BF}=\frac{6}{7}\overrightarrow{BE}$；
∴$\overrightarrow{BF}=6\overrightarrow{FE}$；
∴λ=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理．