Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

(λ＞0)，定點(diǎn)A（-4，0）．
（1）若λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程；
（2）在條件（1）所確定的橢圓C下，當(dāng)動直線MN斜率為k，且設(shè)s=1+3k²時，試求

AM

•

AN

tan∠MAN關(guān)于S的函數(shù)表達(dá)式f（s）的最大值，以及此時M，N兩點(diǎn)所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓C的方程，先根據(jù)條件λ=1且

MF

=λ

FN

(λ＞0)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件

AM

•

AN

=

106

3

求出c的值．
最后根據(jù)離心率為

6

3

分別求出a與b的值．
（2）欲求

AM

•

AN

tan∠MAN關(guān)于S的函數(shù)表達(dá)式f（s）的最大值，先聯(lián)系直線方程與橢圓的方程求

AM

•

AN

tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)最值的相關(guān)知識求出最大值，最后求得直線MN的方程．

解答：解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0），
則

MF

=(c-x1，-y1)，

FN

=(x2-c，y2)，
又λ=1，有

MF

=

FN

．
故

c-x1=x2-c -y1=y2

?

x1+x2=2c y 2 1 = y 2 2

，
又

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)，
所以x₁²=x₂²，結(jié)合x₁+x₂=2c≠0，可知x₁=x₂=c．
所以M(c，

b2

a

)，N(c，-

b2

a

)，
從而

AM

•

AN

=(c+4)2-

b4

a2

=

106

3

，將

c

a

=

6

3

代入得c=2．
故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）

AM

•

AN

tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|．
設(shè)直線MN的直線方程為y=k（x-2）（k≠0），聯(lián)立

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
所以|y1-y2|=

24k4+24k2

1+3k2

，
記t=

24k4+24k2

1+3k2

，S=1+3k2，
則t=

24 ( S-1 3 )2+ S-1 3

S

=

2 6

3

1+ 1 S - 2 S2

，
所以t≤

3

，當(dāng)S=4即k=±1時取等號．
所以，

AM

•

AN

tan∠MAN有最大值，最大值為6

3

，此時直線MN的方程為x±y-2=0．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的相關(guān)知識以及直線與圓錐曲線的知識．