Question

3．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（0，2）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=2，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可；
（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，直線l：y=0，代入橢圓方程解得x=±2$\sqrt{2}$．即可得出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4．
當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（2+m²）y²+4my-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=-4+$\frac{8m+20}{2+{m}^{2}}$，
令2m+5=t，解得m=$\frac{t-5}{2}$．可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4+$\frac{32t}{{t}^{2}-10t+33}$=f（t）．對(duì)t分類(lèi)討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=2，a²=b²+c²，
解得b=2，c=2，a=2$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，直線l：y=0，代入橢圓方程解得x=±2$\sqrt{2}$．
取$A（-2\sqrt{2}，0）$，$B（2\sqrt{2}，0）$，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（-2\sqrt{2}，-2）•（2\sqrt{2}，-2）$=-8+4=-4．
當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為（2+m²）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2+{m}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4
=（m²+1）y₁y₂+（2m-2）（y₁+y₂）+8
=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{2+{m}^{2}}$+$\frac{-4m（2m-2）}{2+{m}^{2}}$+8
=-4+$\frac{8m+20}{2+{m}^{2}}$，
令2m+5=t，解得m=$\frac{t-5}{2}$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4+$\frac{32t}{{t}^{2}-10t+33}$=f（t）．
當(dāng)t=0時(shí)，f（t）=-4．
當(dāng)t＞0時(shí)，-4＜f（t）=-4+$\frac{32}{t+\frac{33}{t}-10}$≤-4+$\frac{32}{2\sqrt{33}-10}$=$6+2\sqrt{33}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{33}$，即m=$\frac{\sqrt{33}-5}{2}$時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)t＜0時(shí)，-4＞f（t）=-4-$\frac{32}{-t+\frac{33}{-t}+10}$≥-4-$\frac{32}{2\sqrt{33}+10}$=6-2$\sqrt{33}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=-$\sqrt{33}$，即m=$\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$時(shí)取等號(hào)．
綜上可得：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取值范圍是$[6-2\sqrt{33}，6+2\sqrt{33}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．