Question

14．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，求S_n．

Answer 1

分析 通過(guò)a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$與a₁²+a₂²+…a_n²+${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$作差，整理可得當(dāng)n≥2時(shí)a_n=2^n-1，進(jìn)而a_n=2^n-1，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
∴a₁²+a₂²+…a_n²+${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$，
兩式相減得：${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{4}^{n}-1}{3}$=4ⁿ=2²ⁿ，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1=2ⁿ=2^（n+1）-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2^n-1，
又∵a₁²=$\frac{4-1}{3}$=1，即a₁=1，滿(mǎn)足上式，
∴a_n=2^n-1，
∴S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．