Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意的恒成立，求滿足題意的所有整數(shù)m的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

（2）求得的表達(dá)式，利用，對(duì)分成，兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.

（3）由對(duì)任意的恒成立，得到對(duì)成立，由此構(gòu)造函數(shù)，利用來導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值，由此求得整數(shù)的取值集合.

（1），所以，，

所以所求切線方程為，即．

（2）由已知，，

所以．

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去），

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（3）由已知對(duì)成立，

設(shè)，

令，得．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

所以，

設(shè)，令，得．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

又，，，，，

所以滿足題意的整數(shù)m構(gòu)成的集合為．