Question

7．在圓x²+y²=r²中，AB為直徑，C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，則有k_AC•k_BC=-1．用類比的方法，對(duì)于橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），也能得出類似的結(jié)論：若設(shè)A為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于橢圓中心的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)C為橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，則k_AC•k_BC=$-\frac{b^2}{a^2}$．

Answer 1

分析 由圓的性質(zhì)可以類比得到橢圓的類似性質(zhì)．

解答 解：由圓的性質(zhì)可以類比得到橢圓的類似性質(zhì)，即k_AC•k_BC=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
證明如下：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-m，-n），進(jìn)而可知$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，
又設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
 則k_AC=$\frac{y-n}{x-m}$，k_BC=$\frac{y+n}{x+m}$
∴k_AC•k_BC=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，
將y²=b^2_（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）代入得k_AC•k_BC=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．