Question

12．（1）已知a-$\frac{1}{a}$=1，求 $\frac{{（{{a^3}+{a^{-3}}}）（{{a^2}+{a^{-2}}-3}）}}{{{a^4}-{a^{-4}}}}$的值；
（2）寫出對數(shù)的換底公式并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由a-$\frac{1}{a}$=1，可得a-a^-1=1．a(chǎn)²+a^-2=（a-a^-1）²+2，a+a^-1=±$\sqrt{（a-{a}^{-1}）^{2}+4}$，再利用乘法公式化簡代入即可得出．
（2）對數(shù)的換底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．下面給出證明：設(shè)log_ab=x，化為指數(shù)式：a^x=b＞0，兩邊取以c為底的對數(shù)可得：xlog_ca=log_cb，化簡整理即可得出．

解答 （1）解：∵a-$\frac{1}{a}$=1，∴a-a^-1=1．
a²+a^-2=（a-a^-1）²+2=3，
a+a^-1=±$\sqrt{（a-{a}^{-1}）^{2}+4}$=±$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{（{{a^3}+{a^{-3}}}）（{{a^2}+{a^{-2}}-3}）}}{{{a^4}-{a^{-4}}}}$=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-1）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（a+{a}^{-1}）（a-{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}）}$=$\frac{（3-1）（3-3）}{1×3}$=0．
（2）對數(shù)的換底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．
證明：設(shè)log_ab=x，
化為指數(shù)式：a^x=b＞0，
兩邊取以c為底的對數(shù)可得：xlog_ca=log_cb，
∵log_ca≠0，
化為x=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$，即log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．

點評 本題考查了指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)的換底公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．